Quantitative Methoden 1

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Quantitative Methoden 1 - Einführung in die Statistik für Psychologen und Sozialwissenschaftler

ISBN: 
978-3-662-43523-6

Welche Angst plagt die meisten Studienanfänger im Psychologie-Studium? Die Angst vor der Statistik-Prüfung! Hier schaffen wir Abhilfe, denn die Statistik ist ein wichtiges Handwerkszeug, um zu verstehen, wie die Psychologie Erkenntnisse gewinnt und ihre Forschungsergebnisse zu bewerten sind – und wenn die Statistik verständlich erklärt ist, gibt es keinen Grund zur Panik!

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Mit den beiden Bänden Quantitative Methoden 1/2 meistern Sie die Grundlagen der Statistik! Anwendungsbezogen und verständlich werden hier die Inhalte der Vorlesungen Quantitative Methoden, Statistik oder Methodenlehre erklärt. Band 1 umfasst die Themen deskriptive Statistik, Grundzüge der Inferenzstatistik und den t-Test sowie Zusammenhangsmaße und Regression.

Mit Verständnisfragen und Antworten, Glossar der wichtigsten Statistik-Begriffe und Verteilungstabellen. – Außerdem mit vielen kostenlosen Zusatzmaterialien auf der begleitenden Lehrbuch-Website: Mehrere hundert Extraseiten mit Anleitungen zur konkreten Durchführung der behandelten statistischen Verfahren mit SPSS und R, Informationen zur Durchführung von Teststärkeanalysen und Stichprobenumfangsplanungen mit G*Power sowie Beispielaufgaben – alles inklusive notwendiger Datensätze. Und ganz NEU in der 4. Auflage: Zahlreiche Erklärungsvideos zu wichtigen Formeln und Zusammenhängen!

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BegriffErklärung
α-FehlerDer α-Fehler, auch Fehler 1. Art, bezeichnet die Fehlentscheidung, die H1 anzunehmen, obwohl in Wirklichkeit die H0 gilt
α-Fehler-KumulierungErhöhung des Gesamt-α-Fehlers durch die statistische Überprüfung einer Hypothese mittels mehrerer einzelner Tests
Abhängige VariableDie gemessene Variable, deren Abhängigkeit von einer oder mehreren unabhängigen Variablen untersucht werden soll
Alternativhypothese (H1)Die Alternativhypothese nimmt einen systematischen Effekt an. Sie umfasst all das, was die Nullhypothese nicht enthält
Alternativhypothese, gerichteteVorhersage eines systematischen Unterschieds zwischen Gruppen in eine bestimmte Richtung. Die Nullhypothese umfasst in diesem Fall auch die Unterschiede in die nicht vorhergesagte Richtung
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Frage 1 von 14
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  • Bestimmen und diskutieren Sie die Skalentypen der folgenden Beispiele:

    a) Postleitzahlen
    b) Gewicht (kg), das ein Kind hochheben kann
    c) Körperliche Verfassung, gemessen am Gewicht (kg), das ein Kind hochheben kann
    d) Metrisches System zur Distanzmessung
    e) Schulnoten
    f) Intelligenz, gemessen an der Anzahl der Aufgaben in einem Test

    Lösung

    a. Reines Klassifikationssystem, keine Informationen über Abstände und Reihenfolge; Skalentyp: Nominalskala.
    b. Physikalische Skala mit Äquidistanz und definiertem Nullpunkt; Skalentyp: Verhältnisskala.
  • Wie viele und welche Merkmale sind nötig, um eine Normalverteilung vollständig zu beschreiben?

    Lösung

    Zwei: Mittelwert und Streuung.
  • In zwei Untertests eines Intelligenz-Struktur-Tests erzielt Mario die Werte x1 = 12 und x2 = 23. Hat Mario in beiden Tests »gleich gut« abgeschnitten? - Gegebene Werte: μ 1 = 10; μ2 = 20 ; σ 1 = 2; σ 2 = 3

    Lösung

    Beide Punktwerte liegen eine Standardabweichungseinheit über dem Mittelwert. Da beide Tests hinreichend normalverteilt sind, hat Mario in beiden Tests den gleichen Prozentrang und ist somit in beiden Tests »gleich gut«.
  • Ein Test für Extraversion hat den Populationsmittelwert von μ = 15 und eine Populationsstreuung von σ = 2.

    a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Versuchsperson in diesem Test einen Wert von 10 oder weniger bekommt?
    b) Wie wahrscheinlich ist es, dass eine Versuchsperson einen Wert zwischen 13 und 17 erhält?
    c) Ab welchem Wert kann man jemanden als außergewöhnlich extravertiert bezeichnen?
    d) Ab welchem Mittelwert kann man eine Gruppe von 4 Leuten als außergewöhnlich extravertiert bezeichnen?

    Lösung

    a) Z-Transformation eines einzelnen Wertes: z = (xi -- μ) / σx = (10 -- 15) / 2 = 2,5. Das heißt, die Wahrscheinlichkeit p für einen Wert gleich 10 oder einen kleineren Wert beträgt p = 0,0062 = 0,62% (siehe z-Werte-Tabelle).
    b) Der Bereich 13 bis 17 entspricht in diesem Test ± einer Standardabweichung. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Versuchsperson einen Wert zwischen 13 und 17 erhält, ist p = 0,68 (68 %).
    c) Wir könnten z. B. festlegen, jemanden als außergewöhnlich extravertiert zu bezeichnen, wenn sein Wert mindestens zwei Streuungseinheiten (SE) über dem Mittelwert liegt. Bei einer Streuung von zwei und einem Populationsmittelwert von 15 wäre eine Versuchsperson ab einem Extraversionswert von 19 außergewöhnlich extravertiert.
    d) Wir könnten auch hier einen Abstand von zwei Streuungseinheiten festlegen, um »außergewöhnlich extravertiert« zu spezifizieren. Allerdings wird die Streuung von Mittelwerten durch den Standardfehler bestimmt (siehe Formel auf Seite 26 im Kapitel 2 → Link "Probekapitel"). Bei einem Standardfehler von 1 und einem Populationsmittelwert von 15 würde man eine Gruppe von 4 Personen ab einem Gruppenmittelwert von 17 als außergewöhnlich extravertiert bezeichnen.
  • Beantworten Sie folgende Fragen:
    a. Wie lauten – jeweils in einem Satz – die Annahmen der Nullhypothese und der Alternativhypothese?
    b. Wodurch unterscheidet sich die ebenfalls standardisierte t-Verteilung von der z-Verteilung?
    c. Wozu dient die Festlegung eines Signifikanzniveaus?
    d. Was sind die mathematischen Voraussetzungen für die Anwendung eines t-Tests?
    e. Was ist der Unterschied zwischen einer ungerichteten und einer gerichteten Alternativhypothese?
    f. Was ist der Varianzquotient Ω2?

    Lösung

    a) Nullhypothese: Die Ursache für die Differenz zwischen den Mittelwerten zweier untersuchter Gruppen ist rein zufällig zustande gekommen, d. h., die beiden Stichproben wurden aus zwei Populationen gezogen, die denselben Populationsmittelwert und dieselbe Streuung haben. Alternativhypothese: Es besteht ein systematischer Unterschied zwischen den beiden untersuchten Gruppen, d. h., die beiden Stichproben wurden aus Populationen gezogen, die einen unterschiedlichen Populationsmittelwert haben.
    b) Die t-Verteilung ist trotz der Standardisierung immer noch von dem Stichprobenumfang abhängig. Dies liegt daran, dass in die Berechnung des t-Werts nicht einer, sondern zwei erwartungstreue Schätzer für Populationsparameter eingehen: Es müssen die Varianzen von zwei Populationen geschätzt werden, um die Streuung der Stichprobenkennwerteverteilung selbst zu schätzen. Die Freiheitsgrade der gefundenen Mittelwertsdifferenz erlauben eine genaue Beschreibung der zu verwendenden t-Verteilung.
    c) Mit der Festlegung eines Signifikanzniveaus wird ein Entscheidungskriterium für die Bewertung des empirischen Ergebnisses bestimmt. Ist die uftretenswahrscheinlichkeit des empirischen Ergebnisses unter der Nullhypothese kleiner als das gewählte Signifikanzniveau, so wird die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
    d) Die mathematischen Voraussetzungen für den t-Test sind die Intervallskalenqualität der Messdaten, die Normalverteilung des untersuchten Merkmals in der Population und die Varianzhomogenität (Gleichheit der Varianzen) der Populationen der beiden Stichproben.
    e) Eine ungerichtete Alternativhypothese nimmt lediglich an, dass die Differenz der Populationsmittelwerte nicht gleich null ist. Eine gerichtete Alternativhypothese sagt bereits eine erwartete Richtung der Mittelwertsdifferenz voraus.
    f) Der Varianzquotient Ω2 ist ein prozentuales Effektstärkenmaß. Er bestimmt das Verhältnis der systematischen Varianz zur Gesamtvarianz.
  • Beschreiben Sie …
    a. den α-Fehler.
    b. den β-Fehler.
    c. den Zusammenhang zwischen dem β-Fehler und der Teststärke.
    d. die gegenseitige Abhängigkeit der Fehlerwahrscheinlichkeiten.

    Lösung

    a) Der α-Fehler oder Fehler 1. Art ist die Entscheidung für die H1, obwohl in Wirklichkeit die H0 gilt. Die α-Fehlerwahrscheinlichkeit ist α = p(H1|H0).
    b) Der β- Fehler oder Fehler 2. Art ist die Entscheidung für die H0, obwohl in Wirklichkeit die H1 gilt. Die β-Fehlerwahrscheinlichkeit ist β = p(H1|H0).
    c) Die Teststärke ist gleich 1 – β.
    d) Nach Bestimmung eines Signifikanzniveaus α ist die β-Fehlerwahrscheinlichkeit festgelegt, wenn die Stichprobengröße und der angenommene Effekt nicht verändert werden. Eine Verkleinerung von α bedingt dann eine Vergrößerung von β und damit eine Verkleinerung der Teststärke. Es ist deshalb nicht immer sinnvoll, in einem t-Test ein sehr niedriges Signifikanzniveau zu wählen, weil durch den größeren β-Fehler ein nicht signifikantes Ergebnis nicht mehr eindeutig zu interpretieren sein kann.
  • Ergänzen Sie die fehlenden Satzteile im nachfolgenden Text (bei kursiv geschriebenen Worten ist die falsche Alternative zu streichen)!
    Der β-Fehler ist die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise (a) für /gegen die Alternativhypothese zu entscheiden. Um den β-Fehler zu erhalten, muss man zunächst eine(n) (b) ____ festlegen. Je weniger Versuchspersonen man erhebt, desto (c) ___ wird der β-Fehler bei sonst gleichen Größen, denn umso (d) ___ wird auch die Streuung der (e) ___ -verteilung. Je größer der interessierende Populationseffekt ist, desto (f) ___ wird die Teststärke. Die Teststärke gibt die Wahrscheinlichkeit an, mit der man ein signifikantes Ergebnis (g) findet / nicht findet, falls ein Populationseffekt einer bestimmten Größe (f) existiert/nicht existiert. Auch das α-Niveau spielt hier eine Rolle, denn je strenger man dieses festlegt, desto (h) ___ wird die Teststärke.

    Lösung

    a) gegen
    b) Populationseffekt
    c) größer
    d) größer
    e) Stichprobenkennwerte-
    f) größer
    g) findet
    h) kleiner
  • Erklären Sie, wodurch jeweils ein positiver, negativer oder kein Zusammenhang zwischen zwei Variablen zustande kommt. Geben Sie für jeden der drei Fälle ein Beispiel.

    Lösung

    Ein positiver Zusammenhang bedeutet, dass die Werte auf beiden Variablen in gleicher Weise variieren (vom Mittelwert abweichen), d. h. überdurchschnittliche Werte auf x entsprechen überdurchschnittlichen Werten auf y, während unterdurchschnittliche Werte auf x mit unterdurchschnittlichen Werten auf y einhergehen.
    Beispiel: Aufmerksamkeit und Erinnerung. Ein negativer Zusammenhang tritt auf, wenn hohe Werte auf der einen Variable mit niedrigen Werten auf der anderen einhergehen und umgekehrt. Beispiel: Angst und Selbstsicherheit. Kein Zusammenhang existiert, wenn beide Variablen unsystematisch miteinander variieren, d. h., es lässt sich kein Trend feststellen. Beispiel: Schuhgröße und Introversion.
  • Wie ist der Korrelationskoeffizient rxy definiert? Welche Vorteile hat er als deskriptives Maß gegenüber der Kovarianz?

    Lösung

    Der Korrelationskoeffizient ist der Quotient aus empirischer Kovarianz und maximaler Kovarianz. Die maximale Kovarianz entspricht dem Produkt der beiden Merkmalsstreuungen. Der Korrelationskoeffizient ist aufgrund der Relativierung maßstabsunabhängig (standardisiert) und hat einen festen Wertebereich 1 bis +1). Korrelationskoeffizienten unterschiedlicher Stichproben oder verschiedener Variablen können so miteinander verglichen werden, was mit der Kovarianz nicht möglich ist.
  • Was besagt eine Kovarianz/Korrelation von null?

    Lösung

    Eine Kovarianz (Korrelation) von null besagt, dass die untersuchten Merkmale voneinander unabhängig sind, d. h., Variable x steht in keinerlei Zusammenhang mit Variable y.
  • Wie führt man eine arithmetische Mittelung von Korrelationskoeffizienten durch? Nennen Sie die wesentlichen Schritte.

    Lösung

    Mithilfe der Fishers Z-Transformation lassen sich Produkt-Moment-Korrelationen mitteln. Die nötigen Schritte sind:
    1. Transformation der einzelnen Werte in Fishers Z-Werte
    2. Bilden eines Z-Mittelwerts
    3. Rücktransformation des Z-Mittelwerts in eine Korrelation
  • Bringen Sie die Begriffe lineare Regression, Kriterium, Prädiktor, Regressionsgleichung, abhängige Variable und unabhängige Variable in einen sinnvollen Zusammenhang!

    Lösung

    Die lineare Regression dient der Merkmalsvorhersage. Aus der Ausprägung der unabhängigen Variable x, genannt Prädiktor, kann die zugehörige Ausprägung der abhängigen Variable, des Kriteriums, mithilfe der Regressionsgleichung vorhergesagt werden.
  • Welche Aussage gestattet der Determinationskoeffizient?

    Lösung

    Der Determinationskoeffizient gibt denjenigen Varianzanteil der abhängigen Variable y wieder, der durch die unabhängige Variable aufgeklärt werden kann. Er ist somit ein prozentuales Maß für den gemeinsamen Varianzanteil zweier Variablen. Ebenso lässt er sich als Effektstärkenmaß begreifen, das die Größe des Einflusses der unabhängigen Variable auf die abhängige Variable angibt.
  • Welche Beziehung besteht bei der linearen Regression zwischen der Gesamtvarianz, der Regressionsvarianz und der Residualvarianz?

    Lösung

    Bei der linearen Regression lässt sich die Gesamtvarianz der tatsächlichen Werte des Kriteriums in die Regressionsvarianz und die Residualvarianz aufspalten: (Gesamtvarianz)2 = (Regressionsvarianz)2 + (Residualvarianz)2
  • Fertig!

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Video

1.1 Die Varianz - Quantitative Methoden 1


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